最小二乘法的矩阵形式推导
利用必要的矩阵求导法则，推导最小二乘法的矩阵形式。
\[
\begin{aligned}
{\color{red}{\boldsymbol{\beta}}}&\color{red}{=(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{y}}
\end{aligned}
\]
量化研究¶
检验多因子模型
\[
R_{it}^e =\alpha_i+\beta_i ^\prime \lambda_t+\varepsilon_{it},\quad t=1,2,\dots, T
\]
多因子模型可以用时间序列回归、截面回归和 Fama-Macbeth 回归进行检验。它们的适用情景不同，所得到的结果也需要不同的解读。
多因子模型反映的是资产的预期收益率和因子暴露在截面上的关系。它回答了这样的问题：在同一时刻，为什么有的资产收益率高，有的资产收益率低？
多因子模型认为，每个因子有一个预期收益率，资产在某个因子上的暴露让该资产可以获得相应的预期收益。不同资产在各个因子上的暴露程度不同，导致了不同资产有着不同的预期收益。
如果有一个多因子模型，它能很好地解释资产收益横截面差异，那么我们只需关心：
- 各个资产在各个因子上的暴露程度（\(N\times K\)）。它是一个矩阵，矩阵的每一行记为\(\beta_i^\prime\)，其中\(i=1, 2, \dots, N\)。
- 各个因子的预期收益率（\(K\times 1\)），记为\(\lambda\)。它是一个列向量，第\(k\)个元素是\(\lambda _k\)，代表第\(k\)个因子的预期收益率。
下面梳理可以对多因子模型进行检验的三种方法。
债券计算器
一个债券计算器，可以计算常规债券的价格、久期和凸性。