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量化研究

普通最小二乘估计的方差与高斯 - 马尔可夫定理

本文计算了普通最小二乘估计的方差，并证明了高斯 - 马尔可夫定理。

普通最小二乘估计的方差：

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\underbrace{\beta^{O L S}}_ {(K+1) \times 1} \mid X)&=\sigma^2 \underbrace{\left(X^{\prime} X\right)^{-1}} _ {(K+1) \times (K+1)} \end{aligned} \]

高斯 - 马尔可夫定理（Gauss-Markov Theorem）

在线性回归模型中，如果线性模型满足高斯马尔可夫假定，则回归系数的最佳线性无偏估计（BLUE, Best Linear Unbiased Estimator）就是普通最小二乘法估计。

线性回归的普通最小二乘估计

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本文推导了线性回归的普通最小二乘估计量的矩阵形式，并在一元线性回归的情境下给出了求和形式的表达式。 $$ Y=X \widehat{\beta}+e $$

\[ \beta^{O L S}=\left(X^{\prime} X\right)^{-1} X^{\prime} Y \]

在一元线性回归的情境下：

\[ \beta_1^{O L S} =\frac{\overline{X Y}-\overline{X} * \overline{Y}}{\overline{X^2}-\left(\overline{X}\right)^2} \]
\[ \beta_0^{O L S} =\frac{\overline{X^2} * \overline{Y}-\overline{X} * \overline{X Y}}{\overline{X^2}-\left(\overline{X}\right)^2} \]

Python 实现多列滚动计算——以“更优波动率”为例

对单列数据进行滚动计算，可以使用常规的.rolling()。

如果需要对多列数据进行滚动计算，可以考虑下面两种方法：

  1. 引入外部包numpy_ext，使用其中的rollling_apply()方法。
  2. 在.rolling()中加入参数method='table'。

本文以方正金工发表的一篇研报中提出的计算“更优波动率”为例，实现了对多列数据进行滚动计算，并对上述两种方法总结如下：

  1. numpy_ext.rollling_apply()需要引入外部包numpy_ext，该方法接受需要进行滚动计算的多个 Series，并返回计算出的一个数组。
  2. .rolling(method='table')是 Pandas 内置的函数（需要升级到较新的版本），指定method='table'后，就可以对数据框中的多列进行滚动计算，并返回一个数据框。若返回的多列结果相同，我们只需要取出其中一列即可。
  3. .rolling(method='table')使用了engine='numba'，计算速度更快。

均值方差模型的有效前沿曲线

在无做空限制的情形下推导均值方差模型的有效前沿曲线，本质上是求解一个带有等式约束的最优化问题。

\[ \begin{aligned} & \underset{w}{\text{minimize}} & & \frac{1}{2} w^{\top} \sum w \\\ & \text{subject to} & & w^{\top} e=1 \\\ & & & w^{\top} \mu=\mu_0 \end{aligned} \]

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有效前沿曲线