Black 格式化 Python 代码
用 Black 自动格式化 Python 代码，编写规范、美观的 Python 代码，让阅读代码变成一种享受。
本文记录了在 VS Code 中安装 Black 时遇到的问题和解决方案。
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VS Code 加载 Web 视图时出错的解决方案
报错原因
在保存一个大型jupyter notebook文件时，自己突然关闭了标签页。再打开它时，VS Code 就报错：
Text Only
加载 Web 视图时出错: Error: Could not register service workers: InvalidStateError: Failed to register a ServiceWorker: The document is in an invalid state..
并且也不能打开其他任何jupyter notebook文件，推测是 VS Code 程序出了问题。
解决方案
我自己曾经遇到过两次这个报错，第一次是在个人电脑 Windows 系统上，第二次是在 Linux 服务器上。下面分别介绍针对这两个系统的解决方案。
\(\LaTeX\) 设置字体时指定字体文件目录
问题与需求
在编写多个\(\TeX\)文档时，我们可能会同时导入相同的外部字体文件。
通常的做法是，将字体文件放在与当前文档所在的同级目录。
重复存储多份 font.TTF
$ tree
.
|-- tex_1
| |-- font.TTF
| |-- tex_1.pdf
| `-- tex_1.tex
`-- tex_2
|-- font.TTF
|-- tex_2.pdf
`-- tex_2.tex
这样的做法会使得font.TTF同时存在于tex_1.tex和tex_2.tex两个文档所在的目录下，而同一份字体文件是没有必要存两遍的。我们希望能将font.TTF存在一个公共目录，使得tex_1.tex和tex_2.tex都可以导入其中的字体。
解决方法
普通最小二乘估计的假设条件
- 因变量\(Y\)与自变量\(X\)之间是 线性 关系。
- 自变量之间 不存在多重共线性 ，即\(\left(X^{\prime} X\right)^{-1}\)存在。
- 误差项的 条件均值为\(0\) ，即\(E\left[u \mid X\right]=0\)。
- 误差项之间 同方差且不相关 ，即\(E\left[u u^{\prime} \mid X\right]=\sigma^2 I_T\)。
- \(\left(Y_t, X_t\right)\) 独立同分布 。
- 误差项是 正态分布 的。
假设 1-4 可推出：普通最小二乘估计是最小方差线性无偏估计（BLUE）。
假设 1-3 与假设 5 可推出：普通最小二乘估计具有一致性。
假设 6 并不影响普通最小二乘估计是最小方差线性无偏估计，它是为了便于在有限样本下对回归系数进行统计检验。
普通最小二乘估计的方差与高斯 - 马尔可夫定理
本文计算了普通最小二乘估计的方差，并证明了高斯 - 马尔可夫定理。
普通最小二乘估计的方差：
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Var}(\underbrace{\beta^{O L S}}_ {(K+1) \times 1} \mid X)&=\sigma^2 \underbrace{\left(X^{\prime} X\right)^{-1}} _ {(K+1) \times (K+1)}
\end{aligned}
\]
高斯 - 马尔可夫定理（Gauss-Markov Theorem）
在线性回归模型中，如果线性模型满足高斯马尔可夫假定，则回归系数的最佳线性无偏估计（BLUE, Best Linear Unbiased Estimator）就是普通最小二乘法估计。
普通最小二乘估计的无偏性和一致性
本文证明了普通最小二乘估计的无偏性和一致性。
无偏性：
\[
E\left[\beta^{O L S}\right]=\beta
\]
一致性
\[
\beta^{O L S}-\beta=\left(X^{\prime} X\right)^{-1} X^{\prime} u \stackrel{p}{\rightarrow} 0 \text { as } T \rightarrow \infty
\]
线性回归的普通最小二乘估计
本文推导了线性回归的普通最小二乘估计量的矩阵形式，并在一元线性回归的情境下给出了求和形式的表达式。 $$ Y=X \widehat{\beta}+e $$
\[
\beta^{O L S}=\left(X^{\prime} X\right)^{-1} X^{\prime} Y
\]
在一元线性回归的情境下：
\[
\beta_1^{O L S} =\frac{\overline{X Y}-\overline{X} * \overline{Y}}{\overline{X^2}-\left(\overline{X}\right)^2}
\]
\[
\beta_0^{O L S} =\frac{\overline{X^2} * \overline{Y}-\overline{X} * \overline{X Y}}{\overline{X^2}-\left(\overline{X}\right)^2}
\]